Séries numériques

Exercices corrigés sur le thème « séries numériques » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Des milliers de décimales de π

Soit x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k, où {u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}.
Ce développement est dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi.

Suite d’intégrales et série

(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.

Série et produit infini

(Oral Mines-Ponts)
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.