Somme d’une série alternée
(Oral Centrale)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Séries numériques
Convergence d’une série alternée
Diagonalisation et série numérique
(Oral Centrale)
Nature de {\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}, où a est la valeur propre réelle de {A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
Nature de {\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}, où a est la valeur propre réelle de {A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
Intégrale et séries numériques
(Oral Ccp)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Intégrale généralisée et série
(Oral Mines)
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Convergence d’une série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Somme d’une série numérique alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Série définie par une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Une série numérique
Une série de produits
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Écriture binaire d’un nombre réel
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
Suite d’intégrales et série
(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
Formule de Stirling
On démontre ici l’équivalent : {n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}.
Série et produit infini
(Oral Mines-Ponts)
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.