Séries (plus ou moins) alternées

Exercice 1. (Oral Centrale)
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_n}{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}+(-1)^{n}}}.
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Exercice 2. (Oral Petites Mines)
Existence et signe de {S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-8)^{n}}{(2n)!}}.
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Exercice 3. (Oral Centrale)
Pour {n\ge2}, on pose {u_n=\dfrac{(-1)^{n(n+1)/2}}{\sqrt{n\left( n+(-1)^n\right)}}}.
Nature de la série de terme général {u_n} ?
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Exercice 4. (Oral Mines-Ponts)
Soit {\alpha\in\mathbb{R}}. Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge 1}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}\!+\!(-1)^{n}}}
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Exercice 5. (Oral Imt)
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}, où : {u_n=(-1)^{n}\sin \left(\dfrac{1}{(-1)^{n}+\sqrt{n}}\right)}
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Exercice 6. (Oral Ccp)
Pour {n\in \mathbb{N}}, soit {u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}}.

  1. Montrer que {(u_{n})} est bien définie et tend vers {0}.
  2. Soit {v_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}u_{n}}. Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}?
  3. Soit {w_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}}.

    Quelle est la nature de la série {\displaystyle\sum w_{n}}?

  4. Donner la limite de {x_{n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}}.

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