Exercice (oral Centrale/Supélec)
On définit la fonction {f\colon x\mapsto \displaystyle{\displaystyle\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1-x^n}}}.
| Question 1 Déterminer le domaine de définition de {f}, et montrer qu’elle y est de classe {{\mathcal C}^1}. |
| Question 2 On pose {\psi(x)=\dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}}. Donner un équivalent de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \psi(nu)} quand {u\to0^+}. |
| Question 3 En déduire un équivalent de {f} en {1}. |
| Question 4 Soit {(F_n)} la suite définie par {F_0=0,\;F_1=1} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}, \, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}On note {\beta} la racine négative de {P=X^2-X-1}. Établir que : {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac 1{F_{2n}} = \sqrt{5} \bigl(f(\beta^2)-f(\beta^4) \bigr)}. |