Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
Soit {(a_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}\quad(\star)}.

  1. Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
  2. Montrer {S_{n+1}\sim S_{n}} et {\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2}.
  3. Soient {u,v} deux suites de {\mathbb{R}^{+}}, avec {u_n\sim v_{n}}.
    Si {\displaystyle\sum v_{n}} diverge, Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}\sim \displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_{k}}.
    En déduire {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
  4. Soit {(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}} telle que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
    Montrer que : {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}

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