QCM (séries numériques)

Voici un QCM sur le thème « Séries numériques ». Pour chacune des 20 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte. On réfléchira bien avant de choisir la bonne réponse, il peut y avoir des pièges.


Combien vaut la somme {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3^{n}}} ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {3/2}
  2. {1/2}
  3. {3/4}
  4. {1/4}

La bonne réponse ?
La réponse 2

Pour quels {a > 0} la série {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\sh(n)}{a^{n}}} est-elle convergente ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. tous
  2. {a\ge1}
  3. {a>1}
  4. {a>\text{e}}

La bonne réponse ?
La réponse 4

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} telle que {\sum\ln(u_{n})} converge.
Laquelle de ces séries n’est pas nécessairement convergente?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\sum u_{n}}
  2. {\sum \text{e}^{-nu_{n}}}
  3. {\sum 2^{-n}u_{n}}
  4. {\sum(u_{n+1}-u_{n})}

La bonne réponse ?
La réponse 1

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Soit {\alpha > 0} et {u_{n} = \cos\Bigl(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\Big)-1} pour tout {n\ge 1}.
La série {\sum u_{n}} converge si et seulement si :
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\alpha >1}
  2. {\alpha >\dfrac{1}{2}}
  3. {\alpha \ge \dfrac{1}{2}}
  4. {\alpha >2}

La bonne réponse ?
La réponse 2

Le produit de Cauchy de {\sum a_{n}} et {\sum b_{n}} est {\sum c_{n}}{c_{n}} vaut :
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {a_{n}b_{n}}
  2. {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{k}}
  3. {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}
  4. {\displaystyle\sum_{j,k=0}^{n}a_{j}b_{k}}

La bonne réponse ?
La réponse 3

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite réelle telle que la série {\sum u_{n}} converge.
Laquelle des hypothèses suivantes sur la suite réelle {(v_{n})_{n\ge0}} permet-elle de dire que la série {\sum v_{n}} converge aussi ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {u_{n}\sim v_{n}}
  2. {v_{n}=\text{o}(u_{n})}
  3. {n^{2}v_{n}=\text{o}(u_{n})}
  4. {v_{n}\le u_{n}} pour tout {n}

La bonne réponse ?
La réponse 3

À quelle série ne peut-on pas appliquer le théorème spécial des séries alternées ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}
  2. {\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x^{n}}\,\text{d}x}
  3. {\displaystyle\sum_{n\ge2}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+(-1)^{n}}}}
  4. {\displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}

La bonne réponse ?
La réponse 3

Laquelle des hypothèses suivantes sur la suite réelle {(u_{n})_{n\ge0}} permet-elle d’affirmer que la série {\sum u_{n}} converge ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {u_{n}\sim \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}}
  2. {u_{n+1}-u_{n}} tend vers {0}
  3. {u_{n}=\text{O}(n^{2}2^{-n})}
  4. {u_{n}=\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}

La bonne réponse ?
La réponse 3

Si {\sum u_{n}} est absolument convergente et si {w_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}2^{k-n}u_{k}}, alors :
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}w_{n}=2\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}}
  2. {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}w_{n}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}}
  3. {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}w_{n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}}
  4. la série {\sum w_{n}} ne converge pas nécessairement

La bonne réponse ?
La réponse 1

Combien vaut {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{n}n!}} ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\dfrac{\text{e}}{2}}
  2. {\sqrt{\text{e}}}
  3. {\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}}
  4. {\text{e}^{2}}

La bonne réponse ?
La réponse 2

Soit {(u_{n})_{n\ge1}} définie par {u_{n}=1} s’il existe {k\in\mathbb{N}} tel que {n = k^{2}}, et {u_{n}= 0} sinon. Laquelle des séries suivantes converge-t-elle ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\sum u_{n}}
  2. {\sum 1/u_{n}}
  3. {\sum u_{n}/n}
  4. {\sum (-1)^{n}u_{n}}

La bonne réponse ?
La réponse 3

Soit {\sum u_{n}} une série à termes positifs. Quelle condition est suffisante pour garantir que cette série converge ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {nu_{n}=\text{O}(1)}
  2. {nu_{n}^{2}=\text{O}(1)}
  3. {n\sqrt{u_{n}}=\text{O}(1)}
  4. {n\text{e}^{u_{n}}=\text{O}(1)}

La bonne réponse ?
La réponse 3

Pour laquelle des séries suivantes le critère de D’Alembert permet-il de montrer la convergence ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n\ln(n)^{2}}}
  2. {\displaystyle\sum\dfrac{n}{2^{n}}}
  3. {\displaystyle\sum\dfrac{\sin(n)}{n!}}
  4. {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{2}}}

La bonne réponse ?
La réponse 2

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite réelle. Soit {\mathcal{P}} la propriété «la série {\sum u_{n}} converge », et soit {\mathcal{Q}} la propriété «la série {\sum u_{n}^{2}} converge». Alors :
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. on a l'implication {\mathcal{P}\Rightarrow\mathcal{Q}}
  2. on a l'implication {\mathcal{Q}\Rightarrow\mathcal{P}}
  3. on a l'équivalence {\mathcal{P}\Leftrightarrow\mathcal{Q}}
  4. il n'y a aucun lien logique entre {\mathcal{P}} et {\mathcal{Q}}

La bonne réponse ?
La réponse 4

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite réelle telle que la série {\sum u_{n}} converge.
Laquelle des séries suivantes converge-t-elle dans tous les cas ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\sum u_{2n}}
  2. {\sum (u_{2n}+u_{2n+1})}
  3. {\sum (-1)^{n}u_{n}/n}
  4. {\sum \sqrt{u_{n}}}

La bonne réponse ?
La réponse 2

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite qui converge vers {0}.
Alors {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(u_{n}-2u_{n+1}+u_{n+2})} vaut :
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {u_{0}}
  2. {u_{0}-u_{1}}
  3. {u_{0}-2u_{1}+u_{2}}
  4. l'hypothèse ne suffit pas pour dire que la série proposée converge

La bonne réponse ?
La réponse 2

Je suis une série qui converge grâce au critère des séries alternées, mais je ne suis pas absolument convergente. Qui suis-je ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\displaystyle\sum_{n\ge2}\dfrac{(-1)^{n}\ln(n)}{n}}
  2. {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{n\sqrt{n}}}
  3. {\displaystyle\sum_{n\ge2}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}}
  4. {\displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{\sin(n)}{n}}

La bonne réponse ?
La réponse 1

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite à valeurs dans {\mathbb{R}^{+}}. Quel lien logique y a-t-il entre {\mathcal{P}}: «{\sum u_{n}} converge » et {\mathcal{Q}}: «{u_{n}=\text{o}(1/n)}»?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. on a l'implication {\mathcal{P}\Rightarrow\mathcal{Q}}
  2. on a l'implication {\mathcal{Q}\Rightarrow\mathcal{P}}
  3. on a l'équivalence {\mathcal{P}\Leftrightarrow\mathcal{Q}}
  4. il n'y a aucun lien logique entre {\mathcal{P}} et {\mathcal{Q}}

La bonne réponse ?
La réponse 4

Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite de réels.
Quelle condition est suffisante pour que {(u_{n})_{n\ge0}} converge?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. la série {\sum u_{n}} converge
  2. la série {\sum 2^{-n}u_{n}} converge
  3. la série {\sum \left|u_{n+1}-u_{n}\right|} converge
  4. la série {\sum u_{2n}} converge

La bonne réponse ?
La réponse 1

De quelle série calcule-t-on facilement la somme?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n^{3}}}
  2. {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n(n\!+\!1)}}
  3. {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n^{2}+1}}
  4. {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}+1}}

La bonne réponse ?
La réponse 2