Sommes harmoniques et nombre d’Apery

Exercice (oral Centrale/Supélec)

    On pose {H_{q}=\displaystyle\sum_{k=1}^{q}\dfrac{1}{k}}.

  • On note {u_{q,n}=\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+q)}}.
    On admet que {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{q,n}=\dfrac{1}{q.q!}}.
  • On pose {\zeta (s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{s}}}. On sait que {\zeta (2) =\dfrac{\pi^{2}}{6}}.
  • On note {v_{q,n}=\dfrac{u_{q,n}}{n}} et {\sigma_q=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}v_{q,n}}.
    En particulier, {\sigma_0=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}}.
  • On note {w_{q,n}=\dfrac{u_{q,n}}{n^2}} et {s_q=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}w_{q,n}}.
    En particulier, {s_0=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^3}=\zeta(3)}.

Question 1
En considérant {k\,v_{k,n}-v_{k-1,n}}, montrer : {\exists\,r_{q}\in\mathbb{Q},\;q!\,\sigma _{q}=\dfrac{\pi ^{2}}{6}-r_{q}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 2
En s’inspirant de ce qui précède, montrer que : {\zeta (3)+\displaystyle\sum_{k=1}^{q}\dfrac{r_{k}}{k}=\displaystyle q!\,s_{q} +H_{q}\,\zeta (2)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 3
En déduire l’égalité : {q!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(1+nH_q)w_{q,n}=\zeta (3) +\displaystyle\sum_{p=1}^{q}\dfrac{r_{p}}{p}-H_{q}r_{q}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 4
Montrer que pour tout entier {q\geqslant 1} : {\displaystyle H_{q}r_{q}-\displaystyle\sum_{k=1}^{q}\dfrac{r_{k}}{k}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{q-1}\dfrac{H_{k}}{(k+1)^{2}}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 5
Montrer que : {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty }\dfrac{H_{k}}{(k+1)^{2}}=\zeta(3)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).