Exercice (oral Centrale/Supélec)
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On pose {H_{q}=\displaystyle\sum_{k=1}^{q}\dfrac{1}{k}}.
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On note {u_{q,n}=\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+q)}}.
On admet que {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{q,n}=\dfrac{1}{q.q!}}. - On pose {\zeta (s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{s}}}. On sait que {\zeta (2) =\dfrac{\pi^{2}}{6}}.
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On note {v_{q,n}=\dfrac{u_{q,n}}{n}} et {\sigma_q=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}v_{q,n}}.
En particulier, {\sigma_0=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}}. -
On note {w_{q,n}=\dfrac{u_{q,n}}{n^2}} et {s_q=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}w_{q,n}}.
En particulier, {s_0=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^3}=\zeta(3)}.
| Question 1 En considérant {k\,v_{k,n}-v_{k-1,n}}, montrer : {\exists\,r_{q}\in\mathbb{Q},\;q!\,\sigma _{q}=\dfrac{\pi ^{2}}{6}-r_{q}} |
| Question 2 En s’inspirant de ce qui précède, montrer que : {\zeta (3)+\displaystyle\sum_{k=1}^{q}\dfrac{r_{k}}{k}=\displaystyle q!\,s_{q} +H_{q}\,\zeta (2)} |
| Question 3 En déduire l’égalité : {q!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(1+nH_q)w_{q,n}=\zeta (3) +\displaystyle\sum_{p=1}^{q}\dfrac{r_{p}}{p}-H_{q}r_{q}} |
| Question 4 Montrer que pour tout entier {q\geqslant 1} : {\displaystyle H_{q}r_{q}-\displaystyle\sum_{k=1}^{q}\dfrac{r_{k}}{k}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{q-1}\dfrac{H_{k}}{(k+1)^{2}}} |
| Question 5 Montrer que : {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty }\dfrac{H_{k}}{(k+1)^{2}}=\zeta(3)}. |