La règle de Raabe-Duhamel

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\alpha \in\mathbb{R}} et {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}.
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