QCM (séries numériques)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Séries numériques ».
Séries numériques
Sommes harmoniques et nombre d’Apery
(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques {H_n}. Par des manipulations algébriques, on exprime {\zeta(3)} (la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
La règle de Raabe-Duhamel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\alpha \in\mathbb{R}} et {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}.
Soit {\alpha \in\mathbb{R}} et {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}.
Intégrales et séries
(Oral Ensam)
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Suite implicite et série
(Oral Inp)
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.
Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.
Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.
Séries (plus ou moins) alternées
Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.
Une série de produits
(Oral Ccp)
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}
Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}
Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
Nature de séries avec paramètres
Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.
Suites récurrentes et séries
Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence {u_{n+1}=f(u_n)}
Un calcul de somme de série
Des séries à somme entière
(Oral Ccp)
Pour {p\in\mathbb{N}}, justifier l’existence de {S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}.
Exprimer {S_{p}} en fonction de {S_{0},\ldots,S_{p-1}}.
Montrer que : {\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}.
Pour {p\in\mathbb{N}}, justifier l’existence de {S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}.
Exprimer {S_{p}} en fonction de {S_{0},\ldots,S_{p-1}}.
Montrer que : {\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}.
Permutation des termes d’une série
(Oral Mines-Ponts)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
Encore une série d’intégrales
(Oral Ccp)
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}.
Montrer que : {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}.
Montrer que : {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}.
Somme d’une série d’intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Pour {(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}, calculer {I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}.
Déterminer la nature et la somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}.
Pour {(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}, calculer {I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}.
Déterminer la nature et la somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}.
La formule de Simon Plouffe
(Oral XEns)
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
- Soit {a\in]0, 1[}. Montrer que pour {n,p\in\mathbb{N}^*} : {\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}
-
En déduire que :
{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}Simplifier {R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}.
Conclure.
Sommes partielles et équivalents
(Oral XEns)
On suppose {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}} (avec les {a_n\gt 0})
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
Montrer {\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}} puis {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
Réciproque : montrer que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}.
On suppose {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}} (avec les {a_n\gt 0})
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
Montrer {\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}} puis {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
Réciproque : montrer que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}.
Encadrement de la somme d’une série
(Oral Ensam)
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}.
Montrer que la série {S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n} converge.
Majorer son reste d’indice {n} en fonction de {u_{n+1}}.
Encadrer {S} au moyen de deux sommes partielles consécutives.
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}.
Montrer que la série {S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n} converge.
Majorer son reste d’indice {n} en fonction de {u_{n+1}}.
Encadrer {S} au moyen de deux sommes partielles consécutives.
Deux séries de même nature
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Série des restes d’une série
(Oral Ensam)
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
Série et sommes partielles
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}} où {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} ont même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}} où {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} ont même nature.
La série des j^n/n
Série et transformation d’Abel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite positive décroissante.
On suppose que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} converge.
On pose {v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} converge.
Exprimer sa somme en fonction de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}.
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite positive décroissante.
On suppose que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} converge.
On pose {v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} converge.
Exprimer sa somme en fonction de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}.
Série des inverses des entiers premiers
(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.
Série et sommes partielles
(Oral Centrale)
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.
On suppose {\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}. Soit {R_{n}=S-S_{n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}} converge {\Leftrightarrow \alpha \lt 1}.
Série alternée d’intégrales
(Oral CCInp)
On note la fonction {\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}.
On note la fonction {\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}.
Une relation série-intégrale
(Oral Mines-Ponts)
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}
Intégrale d’une fonction discrète
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
Divergences en chaîne
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}. Montrer que {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x} diverge.
En déduire que {n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x} et {\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)} divergent.
Soit {f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}. Montrer que {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x} diverge.
En déduire que {n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x} et {\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)} divergent.
Série d’intégrales
(Oral CCInp)
On pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}.
Montrer : {\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}} converge et {\displaystyle\sum a_{n}} diverge.
Calculer la somme {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}.
On pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}.
Montrer : {\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}} converge et {\displaystyle\sum a_{n}} diverge.
Calculer la somme {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}.
Une série et un rayon de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t} et {a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}.
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} converge, et que {\displaystyle\lim_{+\infty}F} existe.
Déterminer le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum a_n x^n}.
Soit {F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t} et {a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}.
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} converge, et que {\displaystyle\lim_{+\infty}F} existe.
Déterminer le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum a_n x^n}.
Série des f(n) avec hypothèse sur f’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
Série des f(n) avec hypothèse sur f’/f
(Oral Centrale)
Soit {f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}, avec {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}.
On demande d’étudier la série {\displaystyle\sum f(n)}.
Soit {f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}, avec {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}.
On demande d’étudier la série {\displaystyle\sum f(n)}.
La série des sin(2π e n!)
(Oral Mines-Ponts)
Donner un équivalent de {u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}}.
En déduire que la série {\displaystyle\sum\sin (2\pi\,\text{e}\, n!)} diverge.
Donner un équivalent de {u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}}.
En déduire que la série {\displaystyle\sum\sin (2\pi\,\text{e}\, n!)} diverge.
Quatre épisodes pour une mini-série
Nature et somme de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} où {u_{n}=\dfrac{n}{2^{n}}}.
Pour la somme, on demande plusieurs méthodes.
Pour la somme, on demande plusieurs méthodes.
Une série alternée d’intégrales
(Oral CCInp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}
Nature et somme de la série de terme général {u_n} ?
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|} ?
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}
Nature et somme de la série de terme général {u_n} ?
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|} ?
Une série d’intégrales
(Oral CCInp)
On définit, pour {n\in \mathbb{N}}, {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}Déterminer la limite de {u_{n}} lorsque {n} en {+\infty }.
Déterminer la nature de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}.
On définit, pour {n\in \mathbb{N}}, {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}Déterminer la limite de {u_{n}} lorsque {n} en {+\infty }.
Déterminer la nature de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}.
Une suite/série implicite
(Oral Centrale)
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.
Équivalent d’un produit partiel
(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe une constante {C\neq 0} telle que : {\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}
Montrer qu’il existe une constante {C\neq 0} telle que : {\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}
Une série en arccos
(Oral Mines-Ponts)
Nature de la série de terme général {u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}
Nature de la série de terme général {u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}
Équivalents et séries de Riemann
On se donne {\alpha\in]0,1[} et {\beta>1}.
On pose {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^\alpha}} et {R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac1{k^\alpha}}.
Donner un équivalent de {R_n} et de {S_n}.
On pose {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^\alpha}} et {R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac1{k^\alpha}}.
Donner un équivalent de {R_n} et de {S_n}.
Série définie implicitement
(Oral Ccp)
On pose {u_0\in\mathbb{R}} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n}=\dfrac{\text{e}^{-u_{n-1}}}{n}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n u_n}.
On pose {u_0\in\mathbb{R}} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n}=\dfrac{\text{e}^{-u_{n-1}}}{n}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n u_n}.
Deux développements usuels
Par des techniques de 1ère année, on retrouve les développements de {\exp(x)} et de {\ln(1\!-\!x)}
Séries à termes positifs (2)
Huit exercices sur le thème « séries à termes positifs » (2/2)
Séries à termes positifs
Exercices sur le thème « séries à termes positifs »
Nombres de Bell
(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
Séries à convergence rapide
(Oral Centrale 2018)
Justifier l’existence de :{S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{16^{k}(8k+n)}\;\text{et}\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{d}x}{1-i-x}}Exprimer {I} en fonction de {S_{1},S_{2},\ldots,S_{8}}. Calculer directement {I}.
Justifier l’existence de :{S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{16^{k}(8k+n)}\;\text{et}\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{d}x}{1-i-x}}Exprimer {I} en fonction de {S_{1},S_{2},\ldots,S_{8}}. Calculer directement {I}.
Étude de la série des 1/n^z
(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Produits infinis
(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.