Séries à termes positifs (2)

Exercice 1.
Soit {\sum u_n} une série réelle, convergente mais non absolument convergente.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose :{u_n^+=\sup(u_n,0)\;\text{et}\;u_n^-=\sup(-u_n,0)}Montrer que {\sum u_n^+} et {\sum u_n^-} divergent.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}{u_n=\left( \cos (1/n)\right)^{n^3}}?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}{u_n=1-\,\text{th}(n)} ?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
Nature des séries {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\displaystyle\sum v_{n}}, avec :{u_{n}=n^{a}\Bigl(1-\cos\dfrac{1}{n}\Bigr)\;\text{et}\;v_{n}=n^{1/n^{2}}-1}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 5.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}{u_{n}=\dfrac{1}{n}\Bigl((n+1)^{1/3}-n^{1/3}\Bigr)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 6.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k+n}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 7.
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}}{u_n=(\ln n)^{-\ln(\ln n)}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 8. (Oral Mines-Ponts)
Préciser la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}w_n}, où {w_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi / 2}\!\!\! \cos^{n}(\ln(1+x))\,\text{d}x}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).