Exercice 1.
Soit {\sum u_n} une série réelle, convergente mais non absolument convergente.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose :{u_n^+=\sup(u_n,0)\;\text{et}\;u_n^-=\sup(-u_n,0)}Montrer que {\sum u_n^+} et {\sum u_n^-} divergent. |
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Exercice 2.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} où {u_n=\left( \cos (1/n)\right)^{n^3}}?
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Exercice 3.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} où {u_n=1-\,\text{th}(n)} ?
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Exercice 4.
Nature des séries {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\displaystyle\sum v_{n}}, avec :{u_{n}=n^{a}\Bigl(1-\cos\dfrac{1}{n}\Bigr)\;\text{et}\;v_{n}=n^{1/n^{2}}-1} |
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Exercice 5.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} où {u_{n}=\dfrac{1}{n}\Bigl((n+1)^{1/3}-n^{1/3}\Bigr)}.
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Exercice 6.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k+n}}
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Exercice 7.
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}} où {u_n=(\ln n)^{-\ln(\ln n)}}.
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Exercice 8. (Oral Mines-Ponts)
Préciser la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}w_n}, où {w_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi / 2}\!\!\! \cos^{n}(\ln(1+x))\,\text{d}x} |
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