Séries à termes positifs

Exercice 1.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1{n(n+1)}} est convergente, et de somme {1}.
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Exercice 2.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1n} est divergente.
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Exercice 3.
Soit {(u_n)} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On suppose que la série {\sum n^2u_n^2} converge.
Montrer qu’il en est de même de {\sum u_n}.
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Exercice 4.
Soit {(u_n)} et {(v_n)} deux suites de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose : {\forall\,n\ge n_0,\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le\dfrac{v_{n+1}}{v_n}}.
On suppose que {\sum v_n} converge.
Montrer que {\sum u_n} converge.
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Exercice 5.
Soient {(u_n)} et {(v_n)} deux suites de {\mathbb{R}^+}.
On suppose que {\sum u_{n}} et {\sum v_{n}} convergent.
Montrer que {\sum\sqrt{u_{n}v_{n}}} converge.
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Exercice 6.
En minorant par une série divergente, retrouver la divergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n}}.
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Exercice 7.
Soit {u_{n}=\left( \dfrac{\ln (n\!+\!1)}{\ln n}\right) ^{n}}. Préciser {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n}.
Quelle est la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge2}\dfrac{u_{n}-1}{n}}?
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Exercice 8.

  1. Déterminer, si elle existe, la limite de {u_{n}=(\,\text{ch}(1 / n)-1)^{\,\text{sh}(1 / n)}} quand {n\to+\infty}.
  2. Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}(u_{n}-1)}.

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