Séries numériques Exercices corrigés

Séries numériques

Exercices corrigés du chapitre « Séries numériques ».

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de

{S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}

.
Montrer que la suite

{n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}}

converge.
Calculer

{T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}}

(en fonction de la constante d’Euler)

➡️

Une petite série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}

➡️

Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

➡️

Une série réellement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}

➡️

Une série faussement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}\cos (\ln (n))}{n}}

➡️

Une suite récurrente paramétrée

(Oral Centrale)
Pour

{x\gt0}

, on étudie la suite définie par

{u_0=x }

{u_{n+1}=u_n+u_n^2}

➡️

Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.

➡️

Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

➡️

Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

➡️

Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.

➡️

Produits de Cauchy

Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».

➡️

Séries numériques alternées

Six exercices sur le thème « séries alternées ».

➡️

Calculs de sommes de séries

Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)

➡️

La constante d’Euler

Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler

\gamma

, et le développement :

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}

➡️

D’Alembert (ou pas)

Préciser la nature de

{\displaystyle\sum u_n}

{\displaystyle\sum v_n}

, où :

{\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}

➡️

Intégrales de Wallis hyperboliques

(Oral Centrale)
On étudie

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t}

où

\text{sh}(\alpha)=1

(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)

➡️

Sommes harmoniques et séries

(Oral Ccp)
On calcule

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}

➡️

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution réelle de

nx^{3}+n^{2}x=2

.
Étudier

{(u_{n})_{n\ge1}}

, puis la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}}

selon

{\alpha}

➡️

Deux sommes de séries numériques

(Oral Ccp)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}

, et

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)}

pour

{-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Équivalents et séries numériques

(Oral Ccp)
Équivalent de

{v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}

, puis nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}

➡️

Nature de ∑sin(2πen!)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}

. Montrer

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}

➡️

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

{+\infty}

➡️

La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

➡️

Somme d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(3n)!}}

➡️

Étude d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par

u_1\gt0

et :

{\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}

➡️

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}

.
Étudier

(u_n)

, puis

{\displaystyle\sum u_{n}}

{\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}

➡️

Nature d’une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum a_{n}}

, où

{a_{0}>0}

{a_{n+1}=\ln(1\!+\!a_{n})}

➡️

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}

➡️

Convergence d’une série alternée

(Oral Centrale)
Nature de la série

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n!}}}

➡️

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

➡️

Intégrale généralisée et série

(Oral Mines)
Montrer que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}

➡️

Reste d’une série de Riemann

(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de

{R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}

➡️

Convergence d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Condition sur

{P\in\mathbb{R}[X]}

pour que

{\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)}

converge.

➡️

Somme d’une série numérique alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}

➡️

Série définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général

{u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}

➡️

Une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de la série

{\displaystyle\sum\sin\big(\pi(1+\sqrt2)^{n}\big)}

➡️

Une série de produits

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

, avec un DL à tout ordre en

1/x

.
On étudie la convergence de la série des

{p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}

.
On applique ce résultat quand

\varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}

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Écriture binaire d’un nombre réel

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{x \in[0,1[}

{x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}

Puis

{x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}

, où

{S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}

.
On étudie la convergence de la suite

(S_n)

vers

x

, et l’unicité de la représentation.

➡️

Suite d’intégrales et série

(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des

{f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}}

sur

{]0,1[}

.
On note

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}

. Déterminer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}

.
2. Montrer que

{I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.
En déduire un équivalent de

{I_{n}}

➡️

Formule de Stirling

On démontre ici l’équivalent :

{n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}

➡️

Série et produit infini

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{x\in\,\mathbb{R}^{+*}}

. On pose :

{u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}

.
Préciser

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}

.
En déduire qu’il existe

{A > 0}

tel que

{u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}

➡️