(Oral Centrale)
- Montrer que {\mathrm{sh}(x)\!=\!1} a une unique solution {\alpha}. Encadrer {\alpha} à {10^{-5}} près.
- On pose: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t}.
Écrire \text{suite(n)} donnant des valeurs approchées de {I_{0},\ldots,I_{n}}.
- Trouver une relation entre {I_{n}} et {I_{n-2}}.
- Montrer que la suite {(I_{n})} est convergente et déterminer sa limite.
- Donner un équivalent de {I_{n}}.
- La série {\displaystyle\sum(-1)^{n}I_{n}} converge-t-elle?
Si oui, donner une valeur approchée à {10^{-2}} près de sa somme.
- La série {\displaystyle\sum I_{n}} est-elle convergente?
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