Somme d’une série alternée

(Oral Centrale 2018)
On pose, pour tout {n\geq 3}, {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.

  1. Donner un équivalent de {S_{n}} si {n\rightarrow\infty}.
  2. Montrer que {n\!\mapsto\! u_{n}\!=\!S_{n}\!-\!\dfrac{\ln ^{2}\!n}{2}} converge
  3. Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln k}{k}} en fonction de la constante d’Euler.

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