Séries numériques alternées

Exercice 1.
Montrer que {\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln(2)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 2.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\geq 2}u_n}, où {u_n=\ln \left(\!\dfrac{\sqrt{n}\!+\!(-1)^n}{\sqrt{n+\alpha }}\!\right)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 3.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\geq2}u_n}{u_n=\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}\!+\!(-1)^{n}},\;\alpha>0}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 4.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}, où {u_n = \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} \dfrac {(-1)^k}{\sqrt{k+1}}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 5.
On considère la série de terme général {u_{n}=\ln (2n+(-1)^{n})-\ln (2n)}.
Montrer qu’elle est convergente mais pas absolument convergente.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Exercice 6.
Déterminer la nature de la série de terme général {u_{n}=\cos \left(n^{2} \pi \ln \Bigl(\dfrac{n-1}{n}\Bigr)\right)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :