Séries positives

Exercices sur le thème « Séries positives »

La règle de Raabe-Duhamel

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\alpha \in\mathbb{R}} et {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}.
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Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}
Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
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Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour {p\in\mathbb{N}}, justifier l’existence de {S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}.
Exprimer {S_{p}} en fonction de {S_{0},\ldots,S_{p-1}}.
Montrer que : {\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}.
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Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
On suppose {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}} (avec les {a_n\gt 0})
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
Montrer {\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}} puis {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
Réciproque : montrer que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}.
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Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite positive décroissante.
On suppose que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} converge.
On pose {v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} converge.
Exprimer sa somme en fonction de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}.
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Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.

On suppose {\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}. Soit {R_{n}=S-S_{n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}} converge {\Leftrightarrow \alpha \lt 1}.

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Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.
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Produits infinis

(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
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Des milliers de décimales de π

Soit x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k, où {u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}.
Ce développement est dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi.
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Série et produit infini

(Oral Mines-Ponts)
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.
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