Matrices complètement inversibles

Pour {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} on note : {\begin{array}{rl}\mathcal{F}(A)&=\Bigl\{\dfrac{x^{\top}A\,x}{x^{\top}x},\;x\in \mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}\Big\}\\[9pts]&=\{x^{\top}A\,x,\;x\in S_n\}\subseteq \mathbb{R}\end{array}}

1. Montrer que {\mathcal{F}(A)} est un intervalle contenant le spectre réel de {A}.
2. Si {A} est symétrique, montrer que {\mathcal{F}(A)} est un segment et en préciser les bornes.
3. On dit que {A} est entièrement inversible si {0\not\in \mathcal{F}(A)}. Montrer qu’alors {A^{-1}} existe et est entièrement inversible.
   Montrer que toute sous-matrice obtenue en supprimant les mêmes lignes/colonnes de {A} est complètement inversible.