Quatre spots lumineux
(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.
Concours X-Ens (Psi)
Un exercice très improbable
(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
A4=A2 et diagonalisabilité
(Oral XCachan Psi)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Deux déterminants reliés
(Oral X-Cachan)
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Minimum d’une forme quadratique
(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
Sommes de projecteurs
(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.
Valeurs d’adhérence
(Oral X-Cachan Psi)
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).
Chebyshev et produit scalaire
(Oral X-Cachan Psi)
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
Conservation du volume
Dans {E} euclidien de dimension {n}, soit {d\in\{1,\ldots,n\}}.
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Endomorphisme et crochet de Lie
(Oral X-Cachan Psi)
Pour {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} on pose {[A,B ] = AB -BA}.
On étudie {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} tel que : {\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}
Pour {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} on pose {[A,B ] = AB -BA}.
On étudie {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} tel que : {\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}
Diagonalisation de M->AM+MB
(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.
Un développement en série entière
(Oral X-Cachan Psi)
On forme la série génératrice attachée à une suite (c_n) définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme P. En utilisant la factorisation de P, on trouve l’expression des c_n et le rayon de convergence de f
On forme la série génératrice attachée à une suite (c_n) définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme P. En utilisant la factorisation de P, on trouve l’expression des c_n et le rayon de convergence de f
Une série de produits
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Un opérateur « valeur moyenne »
(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {\mathbb{R}^{+*}} dans {\mathbb{R}}.
Soit {T\colon E\rightarrow E}, défini par {T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}.
On étudie les éléments propres de {T}.
Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {\mathbb{R}^{+*}} dans {\mathbb{R}}.
Soit {T\colon E\rightarrow E}, défini par {T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}.
On étudie les éléments propres de {T}.
Écriture binaire d’un nombre réel
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}où {f} est cherchée dans {E}.
Selon q, on étudie l’existence d’un solution à (*).
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}où {f} est cherchée dans {E}.
Selon q, on étudie l’existence d’un solution à (*).
Minimum d’une intégrale à paramètre
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.
Étudier {f} sur son domaine, et trouver son minimum.
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.
Étudier {f} sur son domaine, et trouver son minimum.
Demi-dérivée d’une fonction continue
(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Suite d’intégrales à paramètre
(Oral X-Cachan)
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Un calcul d’extrema lié
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}.
Soit {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.
On étudie les extrema de f sur A_{\lambda}.
Soit {A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}.
Soit {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.
On étudie les extrema de f sur A_{\lambda}.