Valeurs d’adhérence

(Oral X-Cachan Psi)
Si {u} est une suite de nombres complexes, on note {V(u)} l’ensemble des valeurs d’adhérence de {u} (i.e. l’ensemble des limites des sous-suites convergentes de {u}).

  1. Montrer que {a\in V(u)} si et seulement si toute boule ouverte centrée en {a} contient une infinité d’éléments de {u}.
  2. Montrer que {V(u)} est un fermé.
    Dans tout ce qui suit, latex]{u}[/latex] est une suite réelle.
  3. Montrer que l’on peut extraire de {u} une sous-suite monotone.
  4. On suppose que {u} est bornée. Montrer que {V(u)} est non vide, puis que {V(u)} est un singleton si et seulement si {u} converge.
  5. Soit {f\colon [a,b] \rightarrow [a,b]} continue ({a\lt b}).
    Soit {(u_{n})} la suite définie par : {u_{0}\in [a, b]} et, pour {n\in\mathbb{N}}, {u_{n+1}=f(u_{n})}.
    Montrer que {(u_{n})} converge si et seulement si {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0}.

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