Produit de Hadamard dans Sn,+(ℝ)

(Oral X-Cachan)
Soit {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} l’ensemble des {M\in S_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall u\in \mathbb{R}^{n},\;u^{\top}Mu\geq 0}.

  1. Montrer que {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par addition et produit par un réel positif.
    Montrer que : {\forall\,u\in \mathbb{R}^{n},\;u\,u^{\top}\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.
  2. Soit {M} dans {S_n(\mathbb{R})}. Montrer que : {M\in\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})\Leftrightarrow \text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^+}
  3. Le produit d’Hadamard de deux matrices est leur produit terme à terme.
    Ainsi, pour {A=(a_{ij}),B=(b_{ij})} dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})}, on pose {A\otimes B=(a_{ij}b_{ij})}.
    Montrer que {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par {\otimes}.
  4. Soit {(u_{1},\ldots,u_{n})} des vecteurs de {\mathbb{R}^{n}}.
    Soit {k\in \mathbb{N}} et {\lambda\in \lbrack 0,+\infty \lbrack }.
    Soit {S=(s_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, où {s_{ij}=(u^{\top}_{i}u_{j}+\lambda)^{k}}. Montrer {S\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.

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