Comparaison de normes fonctionnelles

(Oral X-Cachan)
On considère l’espace vectoriel :

{E\!=\!\{f\!\in\! C^{2}([0,1],\mathbb{R}),\,f(0)\!=\!f^{\prime }(0)\!=\!0\}}

On pose

{\| f\|=\| f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }\| _{\infty }}

Montrer que ${f\mapsto\| f\|}$ est une norme sur ${E}$ .
Soit ${f\in E}$ . On pose ${g=f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }}$ .

Montrer que, pour tout ${t\in [0,1]}$ : ${f(t)=e^{-t}\displaystyle\int_{0}^{t}(t-x)e^{x}g(x)\,\text{d}x}$
Montrer qu’il existe ${a>0}$ tel que : ${\forall f\in E,\;||f||_{\infty }\leq a||f||}$ Trouver la valeur optimale de ${a}$ .
Existe-t-il ${b>0}$ tel que : ${\forall f\in E,\;||f||\leq b||f||_{\infty }\text{?}}$

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