Égalités dans un jeu à deux

La probabilité que Pierre (resp. Marie) gagne une partie est {p} (resp. {q=1-p}).

On note {a_{2n}} la probabilité qu’il y a ait égalité à la date {2n}. Soit {b_{2n}} la probabilité que la première égalité ait lieu à la date {2n}.
Soit {A(x)\!=\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{2n}x^{2n}} et {B(x)\!=\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_{2n}x^{2n}}

1. Exprimer {a_{2n}} en fonction de {n}.
2. Déterminer le rayon de convergence {R} de la série entière {A(x)}. Pour quelles valeurs de {p} la fonction {A} est-elle définie en 1?
3. Monter que, pour tout {x\in\,]-R,R[} : {A(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-4pqx^{2}}}-1}
4. Relation entre {A} et {B}? Expliciter {B(x)}.
5. Probabilité qu’il n’y ait jamais égalité ?