Un nombre géométrique de lancers

(Oral Mines-Ponts)
On lance {N} fois une pièce, où {N\leadsto\mathcal{G}(p)}.
Soit {X} le nombre de faces obtenu.

  1. Montrer que {X} est une variable aléatoire discrète.
  2. Donner la loi de {X} conditionnée par {N=n}.
  3. Soit {k\in \mathbb{N}^{\ast }}, on pose {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\dbinom{n}{k}x^n}.
    Déterminer le rayon de convergence {R} de {f}.
    Calculer {f(x)}. Déterminer la loi de {X}.

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