(Oral X Mp/Mpi)
Pour {n,k\geqslant1}, on note {S_{n,k}} le nombre de partitions d’un ensemble à {n} éléments en {k} parties non vides, et {B_n} le nombre total de ses partitions. Soit {X} de loi de Poisson de paramètre {1}.
| Question a) Montrer que, pour {p\geqslant1}, {p^n=\sum_{k=1}^p\frac{p!}{(p-k)!}S_{n,k}}. |
| Question b) Montrer que {B_n=\mathbb E(X^n)}. |
| Question c) En déduire une expression de {B_n} sous forme de somme. |