Probas
Exercices corrigés sur le thème « Probabilités »

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

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Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

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Répartition de a*n boules dans n urnes

(Oral Mines-Ponts)
On répartit au hasard

{an}

boules dans

{n}

urnes. Soit

{S_{n}}

la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer

{\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})}

et leur limite quand

{n\to+\infty}

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Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2a}

boules blanches et

{a}

boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit

{X}

le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de

X

{E(X)}

(deux méthodes)

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Probabilité de tirages monotones

(Oral Mines-Ponts)
On effectue

{p}

tirages successifs sans remise de

{n}

jetons numérotés de 1 à

{n}

. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.

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Inégalité et espérance mathématique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{a\in[0, 1]}

{X}

une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que

{(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}

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Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

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Fonction d’une loi de Poisson

(Oral Centrale)
Soit

{X}

une v.a.r. telle que

{X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}

.
Si

{X}

est paire, on pose

{Y = X\text{/}2}

, et

{Y=0}

sinon.
Donner la loi de

{Y}

, son espérance et sa variance.

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Minimum dans un tirage aléatoire

(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire

{k}

boules dans une urne contenant

{n}

boules numérotées de

{1}

{n}

. On note

{X}

le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de

{X}

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Transmission d’information

(Oral X-Cachan Psi)
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants. On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis après

n

conversions.

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Le collectionneur, épisode 3

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On détermine ici la fonction de répartition du temps d’attente

X

de la collection complète de figurines, ce qui permet de trouver la loi de

X

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Le collectionneur, épisode 2

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.

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Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des

N

figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note

{X}

le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de

X

, son espérance, sa variance.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 5

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse ici à l’espérance du temps de retour de l’urne dans sa composition initiale. On illustre ensuite les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 4

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, et l’épisode 3. Dans cet épisode, on étudie les puissances successives de la matrice de transition, et on illustre les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois

X_n

, quand on part de la loi initiale de

X_0

(qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme

\varphi

{\mathbb{R}_{N}[X]}

dans la base canonique.
Si

{t\mapsto G_{n}(t)}

est la fonction génératrice de

{X_{n}}

, on voit que

{G_{n+1}=\varphi(G_{n})}

.
On retrouve alors la relation

{\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient

{N}

boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note

{X_{n}}

le nombre de boules bleues après la

{n}

-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule

{\text{E}(X_{n})}

et sa limite quand

{n\rightarrow+\infty}

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Lancer de dés pipés

(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de

1

6

.
On note

{p_{k}}

la probabilité d’obtenir

{k}

.
Soit

{N_{n,k}}

le nombre de

{k}

{n}

lancers.
Que dire de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}

?
Si

{np_{k}\in\mathbb{N}}

, probabilité que

{N_{n,k}=np_{k}}

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