Transmission d’information

Exercice 1. (Oral X-Cachan Psi)
On considère une suite de {n} convertisseurs indépendants et placés en série. Chacun restitue le bit fourni avec la probabilité {p} et l’inverse avec la probabilité {q=1-p}.
On note X_{k} le bit en sortie du {k}-ième convertisseur, {X_{0}} le bit en entrée de chaîne.
On pose {A_{k}=\begin{pmatrix}\mathbb{P}(X_{k}=1)\\\mathbb{P}(X_{k}=0)\end{pmatrix}}.

  1. Déterminer une relation entre {A_{k}} et {A_{k+1}}.
  2. Donner la probabilité que le bit initial soit bien rendu en sortie du {n}-ième convertisseur.
  3. Que se passe-t-il quand {n} tend vers l’infini ?

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Exercice 2.
{N} personnes se transmettent, de proche en proche, une information binaire.
Chaque transmission est fidèle avec la probabilité {p} ({0\lt p\lt 1}), donc changée en son contraire avec la probabilité {q=1-p}.
Quelle est la probabilité {f_{N}} que l’information arrive fidèlement à la {N^{\text {ième}}} personne?
Que devient {f_{N}} quand {N} tend vers {+\infty}?
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