Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r indépendantes de loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}Soit {S_{n}\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}} et {Y_{k}=\inf \{n\!\ge\!1,S_{n}\geq k\}}

  1. Montrer l’existence de {Y_{k}}.
    Écrire une fonction Python \texttt{Yk(k,p)}.
  2. Écrire \texttt{mk(p)} approchant {m_{k}=E(Y_{k})}.
    Tracer les points {(k,m_{k})} quand : {\begin{cases}1\le k\le 100\\p\in \{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9\}\end{cases}}
  3. Montrer que {\mathbb{P}(Y_{k}=n)} est égal à : {p\,\mathbb{P}(Y_{k-1}\!=\!n\!-\!1)\!+\!(1\!-\!p)\,\mathbb{P}(Y_{k-2}\!=\!n\!-\!1)}
  4. Montrer que {\text{E}(Y_{k})} est égal à : {p\,\text{E}(Y_{k-1})+(1\!-\!p)\,\text{E}(Y_{k-2})+1}
  5. Montrer que : {\text{E}(Y_{k})\sim kC_{p}} quand {k\to\infty}, où {C_{p}} est une fonction de {p}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).