Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On considère quatre spots {\mathrm{S}_{1}}, {\ldots }, {\mathrm{S}_{4}}.
À l’instant {t=0}, {\mathrm{S}_{1}} est allumé.

  • Si {\mathrm{S}_{1}} est allumé à l’instant {n}, alors à l’instant {n+1} on allume un spot {\mathrm{S}_{i}} au hasard (et on éteint {\mathrm{S}_{1}} si {i\ne 1}).
  • Si {\mathrm{S}_{j}} (avec {j\in \{2,3,4\}}) est allumé à l’instant {n}, alors on l’éteint à l’instant {n+1} et on allume {\mathrm{S}_{j-1}} à la place.

On note {X_{n,i}} l’événement :
« À la date {n}, le spot {i} est allumé »

Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\mathbb{P}(X_{n,i})} pour tout {i\in[[ 1,4]]}.

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