Probabilités, variables aléatoires

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Probabilités, variables aléatoires ».

Rétablir l’honnêteté d’une pièce

(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?

Fonctions de variables de même loi

(Oral Mines-Ponts)
Soient {X_{1},X_{2}} deux v.a.r à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}, indépendantes et de même loi.
Soit {Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}} et {Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}
Montrer que {Y_{1}} a une espérance et une variance.
Calculer {E\left(Y_{1}\right)} et montrer que {\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}.

Boules et urnes

On considère trois urnes : {U_{1}} (deux boules blanches et trois rouges), {U_{2}} (deux boules vertes et quatre blanches), {U_{3}} (cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?