Probabilités, variables aléatoires

Exercices du chapitre « Probabilités, variables aléatoires »

Rétablir l’honnêteté d’une pièce

(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?

Tchebychev le bien aimé

(Oral Mines-Ponts)
Soit {X} une variable aléatoire de loi {\mathcal{P}(\lambda)}.
Montrer que {\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}.
Montrer que {\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}

Fonctions de variables de même loi

(Oral Mines-Ponts)
Soient {X_{1},X_{2}} deux v.a.r à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}, indépendantes et de même loi.
Soit {Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}} et {Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}
Montrer que {Y_{1}} a une espérance et une variance.
Calculer {E\left(Y_{1}\right)} et montrer que {\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}.

Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient {X_{1},\ldots,X_{n}} des v.a.r indépendantes de loi : {P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}Soit {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}.
Montrer que {P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.

Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne, {n} boules numérotées de 1 à {n}.
On effectue {n} tirages successifs sans remise.
Soit {X_{k}} le numéro de la boule tirée à l’étape {k}.
On dit qu’il y a un pic si {X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}.
Donner l’espérance du nombre de pics.

Boules et urnes

On considère trois urnes : {U_{1}} (deux boules blanches et trois rouges), {U_{2}} (deux boules vertes et quatre blanches), {U_{3}} (cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?

Somme de probabilités

Soit {A,B,C} trois événements. Simplifier :{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}Ensuite on généralise ce résultat.

Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}

Deux suites de tirages monocolores

(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.

Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.

Le plus petit numéro tiré

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.

Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.

Probabilité de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?

Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {X,Y} deux v.a.r. indépendantes suivant {\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}.
Donner la loi, l’espérance et la variance de {Z\!=\!X\!-\!Y}.
Calculer {\text{Cov}(X,Z)} et leur coefficient de corrélation.

Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes {(X_{n})_{n\geq 1}}.
On suppose que {X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)} et que {\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}} converge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(A_{k})_{1\leq k\leq n}} des événements mutuellement indépendants. Soit {B} l’événement :
« aucun des événements {A_k} n’est réalisé ».
Montrer que {\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}.

Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de X_1+\cdots+X_n\ge k.
On étudie la loi de Y_k et son espérance.

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}, on note p_n la probabilité d’obtenir à la date n, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}.