Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient {X_{1},\ldots,X_{n}} des v.a.r indépendantes de loi : {P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}Soit {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}.

  1. Montrer que {P\Big(\Big|\dfrac{S_{n}}{n}\Big|\geq \varepsilon \Big)\le\dfrac{1}{n\varepsilon^2}}.
  2. Montrer que : {\forall\,t\in \mathbb{R},\;E(e^{tS_{n}})=\mathrm{c}\mathrm{h}^{n}t}.
  3. Montrer que {\forall\,t\gt0,\textrm{ch}\,t\leq e^{t^{2}/2}}
  4. Montrer que, pour tout {t\ge0}: {P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(\dfrac{nt^{2}}{2}-nt\varepsilon\Big)}
  5. Montrer que {P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

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