Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne, {n} boules numérotées de 1 à {n}.
On effectue {n} tirages successifs sans remise.
Soit {X_{k}} le numéro de la boule tirée à l’étape {k}.
On dit qu’il y a un pic si {X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}.
On convient qu’il y a toujours un pic au premier tirage.
Soit {S_{n}} le nombre de pics au cours des {n} tirages.

  1. Déterminer {\mathbb{P}(S_{n}=1)} et {\mathbb{P}(S_{n}=n)}.
  2. Soit {T_{k}} la variable indicatrice de l’évènement :
    “il y a un pic au {k}-ème tirage”.
    Déterminer la loi de {T_{k}}. Donner l’espérance de {S_{n}.}

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