Probabilités, variables aléatoires

Exercices du chapitre « Probabilités, variables aléatoires »

Déplacements dans Z2

(Oral Centrale)
Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?

Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes {\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}
Donner la loi de {Z = X + Y}.
Donner celle de {X} sachant {(Z = n)}.

Tirages dans une urne

(Oral Ccp)
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.

Jetons bicolores

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty

Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient {N} boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note {X_{n}} le nombre de boules bleues après la {n}-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule {\text{E}(X_{n})} et sa limite quand {n\rightarrow+\infty}.

Lancer de dés pipés

(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?

Calcul d’une espérance

Une urne contient {b} boules blanches et {r} rouges.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.

Une urne bicolore

Une urne contient {a} boules blanches et {b} boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit {X} la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des {a} boules blanches. Déterminer la loi de {X}. Calculer {\text{E}(X)} et {\text{V}(X)}.