L’urne d’Ehrenfest, épisode 5

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse à la possibilité que l’urne retrouve un jour sa composition initiale.
On dit que l’urne est « dans l’état {i} » si elle contient {i} boules bleues.
On note {\tau_{i,j}} le temps d’attente du premier passage dans l’état {i} en provenance de l’état {j}.

  1. Pour {n\ge2}, montrer que : {\mathbb{P}(\tau_{i,j}=n)=\displaystyle\sum_{k\ne i}a_{k,j}\,\mathbb{P}(\tau_{i,k}=n-1)}
  2. En déduire les relations :{(R_{j}) :\ \text{E}(\tau_{i,j})=1+\displaystyle\sum_{k\ne i}a_{k,j}\,\text{E}(\tau_{i,k})}
  3. En les combinant, montrer que :{\text{E}(\tau_{i,i})=\dfrac{1}{\pi_{i}}\;\text{où}\;\pi_{i}=\dfrac{1}{2^{N}}\dbinom{N}{i}}
  4. Expérimenter avec Python.

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