L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient {N} boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante:
« tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note {X_{n}} le nombre de boules bleues après la {n}-ième manipulation.

  1. Donner {\mathbb{P}(X_{n+1}=i)} en fonction de {\mathbb{P}(X_{n}=i-1)} et {\mathbb{P}(X_{n}=i+1)}.
  2. En déduire que {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.
  3. Calculer {\text{E}(X_{n})} et sa limite quand {n\rightarrow+\infty}.

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