L’urne d’Ehrenfest, épisode 4

On rappelle que les polynômes (Q_k=(X-1)^k(X+1)^{N-k})_{0\le k\le N}forment une base de \mathbb{R}_{N}[X]

1. Si {X^{j}=\displaystyle\sum_{k=0}^{N}\alpha_{k,j}Q_{k}}, calculer {\begin{cases}\alpha_{0,j}\\\alpha_{N,j}\end{cases}}
2. En déduire {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}A^{2n}}, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}A^{2n+1}} et {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}\bigl(A^{2n}+A^{2n+1}\bigr)}
3. Expérimenter avec Python