On reprend les résultats de l’épisode 1.
On note la loi de {X_{n}} : {U_{n}=\bigl(\mathbb{P}(X_{n}=0),\ldots,\mathbb{P}(X_{n})=N\bigr)}
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Déterminer {A\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})} telle que: {\forall\, n\in\mathbb{N},\,U_{n+1}=AU_{n}}.
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Écrire une fonction Python/Numpy renvoyant la matrice {A\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})}.
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On se place dans {\mathbb{R}_{N}[X]}, muni de sa base canonique {1,X,\ldots,X^{N}}.
Identifier l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{R}_{N}[X]} de matrice {A} dans cette base.
- Soit {G_{n}(t)} la fonction génératrice de {X_{n}}.
Montrer {G_{n+1}=\varphi(G_{n})} et retrouver : {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.
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