Inégalités et espérance

(Oral Mines-Ponts)

  1. Soit {X,Y} deux v.a.r. admettant une variance.

    Montrer que {(\mathrm{E}(XY))^{2}\leq \mathrm{E}\left(X^{2}\right) \mathrm{E}\left(Y^{2}\right)}.

  2. Soit {Z>0} une v.a.r ayant une variance.

    Soit {a \in\,]0,1[}. Montrer que : {\mathbb{P}(Z\geq a\mathrm{E}(Z))\geq (1-a)^{2}\dfrac{\mathrm{E}(Z)^{2}}{\mathrm{E}(Z^{2})}}

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