Processus aléatoires

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Probabilités » et dans la catégorie « Processus aléatoires ».

Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date

{n}

quand

{n\to+\infty}

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Deux suites de tirages monocolores

(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion

{p\in\,]0,1[}

de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note

{X_1,X_2}

les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de

{X_1}

, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple

{(X_1,X_2)}

.
En déduire la loi de

{X_2}

, son espérance, sa variance.

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Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n\geq 1}}

des v.a.r. indépendantes telles que :

{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}

Montrer que

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

prend presque sûrement une infinité de fois la valeur

{k}

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Urne de moins en moins bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant le coté monocolore).

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Urne de plus en plus bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).

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Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour

{k\in [[1,p]]}

, l’urne numéro

{k}

contient

{k}

boules noires et

{p-k}

boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire

{2n}

boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu

{n}

boules noires? Quelle est sa limite quand

p\to+\infty

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Égalités dans un jeu à deux

(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après

2n

parties.

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Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

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Déplacements dans Z²

(Oral Centrale)
Un module, initialement en

{(0,0)}

, se déplace dans

{\mathbb{Z}^2}

dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note

{A_{n}=(X_{n},Y_n)}

sa position à l’instant

{n}

, et

{Z_{n}}

sa distance à l’origine.
Donner

{\text{E}(X_{n})}

{\text{V}(X_{n})}

. Montrer que

{\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}

, et calculer

{\mathbb{P}(Z_{n}=0)}

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Quatre spots lumineux

(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.

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Jetons bicolores

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

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Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

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Transmission d’information

(Oral X-Cachan Psi)
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants. On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis après

n

conversions.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 4

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, et l’épisode 3. Dans cet épisode, on étudie les puissances successives de la matrice de transition, et on illustre les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois

X_n

, quand on part de la loi initiale de

X_0

(qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme

\varphi

{\mathbb{R}_{N}[X]}

dans la base canonique.
Si

{t\mapsto G_{n}(t)}

est la fonction génératrice de

{X_{n}}

, on voit que

{G_{n+1}=\varphi(G_{n})}

.
On retrouve alors la relation

{\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient

{N}

boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note

{X_{n}}

le nombre de boules bleues après la

{n}

-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule

{\text{E}(X_{n})}

et sa limite quand

{n\rightarrow+\infty}

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