Urne de moins en moins bicolore

(Oral Centrale Mp)
Une urne contient {n} boules indiscernables au toucher, avec {n\ge2}.

Initialement {b} sont blanches ({0\le b\le n}), les autres sont rouges.

On répète la manipulation suivante :

Sans remise, extraire au hasard une première boule puis une deuxième.

  • Si elles sont de la même couleur, les remettre dans l’urne.
  • Sinon, place dans l’urne deux boules de même couleur que la première.

Soit {X_{k}} le nombre de boules blanches après {k} manipulations.

On pose {U_{k}=(\mathbb{P}(X_{k}=i))_{0\le i\le n}\in\mathbb{R}^{n+1}} (identifié à la colonne correspondante).

  1. Trouver {A_{n}\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} telle que : {\forall\, k\in\mathbb{N},\;U_{k+1}=AU_{k}}
  2. Dans cette question, {n=4}.
    On note {A\in\mathcal{M}_{5}(\mathbb{R})} plutôt que {A_{4}}.
    Écrire {A} et son polynôme caractéristique.
  3. Calculer la limite de {A^{m}} quand {m\to+\infty}.

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