Urne de plus en plus bicolore

Une urne contient {n+1} boules indiscernables, de couleur blanche ou rouge.

Initialement, l’urne contient au moins une boule blanche et une boule rouge.

On répète la manipulation suivante :

Sans remise, extraire au hasard une première boule puis une deuxième :

• si elles sont de couleurs différentes, les remettre dans l’urne.
• sinon, les remplacer par une boule blanche et une boule rouge.

Soit {X_{k}} le nombre de boules blanches après {k} manipulations.

1. Dans cette question seulement, on suppose que la variable {X_{0}} (nombre de boules blanches dans l’urne à la date {0}) suit la loi uniforme sur {[[ 1,n]]}.

   Par un argument de symétrie, montrer que {E(X_{k})} ne dépend pas de {k}.

2. On pose {U_{k}=(\mathbb{P}(X_{k}=i))_{1\le i\le n}\in\mathbb{R}^{n}} (identifié à une colonne).

   Trouver {A_{n}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que : {\forall\, k\in\mathbb{N},\;U_{k+1}=A_{n}U_{k}}

3. Dans cette question, on suppose {n=4}.

   On note {A\in\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})} plutôt que {A_{4}}.

   Montrer que la suite {(A^{m})_{m\ge0}} converge vers une matrice de projection {B} dont on identifiera les éléments caractéristiques.