Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)

  1. Calculer {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}(1-x)^{n}\,\text{d}x}, où {n\in\mathbb{N}}.
  2. On dispose de {p} urnes numérotées de {1} à {p}.

    Pour {1\le k\le p}, l’urne n°{k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.

    On choisit au hasard une urne puis on y effectue des tirages avec remise.

    On note {A_{n,p}} l’événement :
    « {2n} tirages ont renvoyé {n} boules noires ».

    Calculer {\mathbb{P}(A_{n,p})}, puis {\displaystyle\lim_{p\rightarrow+\infty}\mathbb{P}(A_{n,p})}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).