Convergence en probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
On dit qu’une suite {(X_{n})} de v.a.r. converge en probabilité (CP) vers {X} si : {\forall\,\varepsilon >0,\;\lim\limits_{n\to +\infty}\mathbb{P}(|X_{n}-X|\geq \varepsilon )=0}

  1. On suppose les {X_{n}} indépendantes, de même espérance, de même variance {m}.

    Montrer que {M_{n}\!=\!\dfrac{1}{n}\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}X_{k}} est CP vers {m}.

  2. On suppose que {\begin{cases}E(X_{n})\!\to\!E(X)\\V(X_{n}\!-\!X)\!\to\!0\end{cases}}
    Montrer que {(X_{n})} est CP vers {X}.
  3. Soit {(S_{n})} une suite de v.a.r. indépendantes de loi {\mathcal{B}(n,p)}. On pose {X_{n}\!=\!\exp (S_{n}/n)}.

    Calculer {E(X_n)\;\text{et}\;V(X_n)}.
    La suite {(X_{n})} est-elle CP ?

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