Formule du crible

Exercice 1.
Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
Soit {(A_{i})_{1\le i\le n}} une famille de {n} événements.
Montrer la formule du crible :{\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcup_{1\le i\le n}\!\!A_{i}\Bigr)\!=\!\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\!\!\!\displaystyle\sum_{J\subset[[ 1,n]]\atop\text{card}(J)=k}\!\!\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcap_{j\in J}A_{j}\Bigr)\ }où la somme interne est étendue aux parties {J} de {[[ 1,n]]} telles que {\text{card}(J)=k}

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Exercice 2.
Une urne contient {n} boules indiscernables, numérotées de {1} à {n}.
On les extrait, une à une, sans remise.
On note {A_{i}} l’événement « la boule apparue lors du {i}-ème tirage porte le numéro {i}« .

  1. Soit {J\subset [[ 1,n]]}, de cardinal {k\ge1}.

    Calculer {\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcap_{j\in J}A_{j}\Bigr)},

  2. En utilisant formule du crible, calculer la probabilité de {B_{n}}: « à aucun moment, le tirage n°{i} ne fait apparaître la boule n°{i}« .
    Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_{n})}.

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Exercice 3.
Retrouver la formule du crible (exercice 1) en utilisant des indicatrices d’événements.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.