Formule du crible

Exercice 1.
Soit

{(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}

un espace probabilisé.
Soit

{(A_{i})_{1\le i\le n}}

une famille de

{n}

événements.
Montrer la formule du crible :

{\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcup_{1\le i\le n}\!\!A_{i}\Bigr)\!=\!\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\!\!\!\displaystyle\sum_{J\subset[[ 1,n]]\atop\text{card}(J)=k}\!\!\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcap_{j\in J}A_{j}\Bigr)\ }

où la somme interne est étendue aux parties

{J}

{[[ 1,n]]}

telles que

{\text{card}(J)=k}

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Exercice 2.
Une urne contient

{n}

boules indiscernables, numérotées de

{1}

{n}

.
On les extrait, une à une, sans remise.
On note

{A_{i}}

l’événement « la boule apparue lors du

{i}

-ème tirage porte le numéro

{i}

« .

Soit ${J\subset [[ 1,n]]}$ , de cardinal ${k\ge1}$ .

Calculer ${\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcap_{j\in J}A_{j}\Bigr)}$ ,
En utilisant formule du crible, calculer la probabilité de ${B_{n}}$ : « à aucun moment, le tirage n° ${i}$ ne fait apparaître la boule n° ${i}$ « .
Préciser ${\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_{n})}$ .