(Oral X Mp/Mpi)
Une variable aléatoire réelle {Y} est dite {k}-divisible s’il existe des variables réelles indépendantes de même loi {X_1,\ldots,X_k}, éventuellement sur un autre espace probabilisé, dont la somme a la loi de {Y}.
| Question a) Si {Y} est à valeurs dans {\mathbb N}, montrer qu’au plus une loi réalise sa {k}-divisibilité. |
| Question b) Si {Y\sim\mathcal B(n,p)}, avec {n\geqslant1} et {0\lt p\lt 1}, donner une condition nécessaire et suffisante sur {k}. |
| Question c) Si {Y} suit une loi de Poisson, montrer qu’elle est {k}-divisible pour tout {k\geqslant1}. |
| Question d) On suppose {Y\in\mathbb N}, {\mathbb P(Y=0)>0}. et {Y} divisible pour tout entier {k\geqslant1}. Montrer qu’il existe une famille de variables entières {(Y_r)_{r\in\mathbb Q\cap[0,1]}}, avec {Y_1\sim Y}, {Y_0=0}, telle que, pour {r'>r}, la loi de {Y_{r'}} soit celle d’une somme indépendante de lois {Y_r} et {Y_{r'-r}}. |