Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.

  1. Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det((2\cos\theta)I_{n}-A_{n})} pour {\theta\in\,]0,\pi[}.
  2. En déduire les valeurs propres de {A_{n}}.

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