Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.

Calculer ${\Delta_{n}(\theta)=\det((2\cos\theta)I_{n}-A_{n})}$ pour ${\theta\in\,]0,\pi[}$ .
En déduire les valeurs propres de ${A_{n}}$ .

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Voir aussi :

Diagonalisation d’une matrice en Z
Racines carrées d’une matrice
Réduction endomorphisme matriciel
Un critère de diagonalisabilité
Commutant d’un endo scindé simple
Condition de diagonalisabilité
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
Exercices sur la réduction (1/2)
Matrice triangulaire diagonalisable?
Adhérence des matrices diagonalisables