Éléments propres Exercices corrigés

Éléments propres

Exercices sur le thème « Éléments propres ».

Spectre de sous-matrices principales

(Oral Centrale) Soit

{A}

une matrice symétrique réelle, et

{B}

une sous-matrice principale de

{A}

. On montre que si

{B}

est à spectre simple, alors il en est de même de

{A}

, et les valeurs propres de

{B}

séparent celles de

{A}

➡️

Matrices magiques et valeurs propres

(Oral Centrale) Pour toute matrice

{A}

magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.

➡️

L’application matricielle M -> AM+MA

(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur

{\mathcal{M}_{n}(\K)}

par

{\varphi(M)=AM+MA}

, où

{A}

est une matrice à polynôme caractéristique scindé.

➡️

L’équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle

{AX-XB=Y}

, où

{A}

{B}

sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution

{X}

sous forme de série matricielle.

➡️

Sous-espace de matrices qui commutent

(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

formé de matrices qui commutent deux à deux.

➡️

Endomorphisme de suites

(Oral CCinp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})}

définie par

{f(u)=v}

où

{\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}

Donner les éléments propres de

{f}

➡️

Exercices sur la réduction (2/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

➡️

Droite ou plan stable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace vectoriel de dimension

{n\geq 2}

.
Montrer que tout endomorphisme de

{E}

possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

➡️

Exercices sur la réduction (1/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

➡️

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{n}

valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe

{\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}

tels que :

{\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}

➡️

Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{\dim(E)=3n}

.
On suppose

{v^{3}=0}

{v^{2}\neq 0}

{\mathrm{rg} (v)=2n}

.
Montrer que

{\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}

.
Former une base où

{v}

a pour matrice

{\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

➡️

Matrices à puissances bornées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})}

telles que la suite

{n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}}

soit bornée.

➡️

Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Dans un

{\mathbb{C}}

-ev

{E}

de dimension finie, on étudie les propriétés de

{u,v}

dans

{\mathcal{L}(E)}

tels que

{uv-vu=au+bv}

avec

{a\ne 0}

➡️

Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

un ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.

➡️

Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de

{\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}

➡️

Matrices avec vecteur propre donné

(Oral Centrale 2018)
Soit

{x\in\mathbb{R}^{n}}

non nul, et

{E_{x}}

l’ensemble des matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{x}

comme vecteur propre.
Montrer que

{E_{x}}

est un espace vectoriel, préciser sa dimension.

➡️

Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
Encadrement de valeurs propres non nulles de matrices à coefficients entiers.

➡️

Déterminant et polynômes

(Oral Centrale Mp)
Soit

n\in\mathbb{N}

, et

{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}

pour

0\le j\le n

.
On étudie la matrice des coefficients

a_{n,i,j}

et on calcule son déterminant.

➡️

Commutant d’un endo scindé simple

Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

(où

{\dim(E)=n\ge1}

) ayant

{n}

valeurs propres distinctes.
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

. Montrer

{uv=vu}

si et seulement si

{v}

s’écrit

{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}

➡️

Réduction endomorphisme de K_n[X]

Pour tout polynôme

P

, on note

\varphi(P)

le polynôme

X(X-1)P'-nXP

.
Montrer que

{\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}

, et en donner les éléments propres.

➡️

Valeurs propres de uv et de vu

Soit

{u}

{v}

deux endomorphismes d’un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Spectre de M^T M et de M M^T

(Oral XCachan)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}

.
Comparer le spectre de

{{M}{M}^{\top}}

et de

{{M}^{\top}M}

➡️

Endomorphismes tels que f² = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie. Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

avec

{f^2=-\text{Id}_{E}}

. On montre que dans une certaine base de

E

la matrice de

f

est diagonale par blocs égaux à

{R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

➡️

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

➡️

Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

➡️

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

{x\mapsto \sin(x)}

{x\mapsto \cos(2x)}

{x\mapsto \sin(2x)}

{\ldots}

{x\mapsto \cos (nx)}

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

➡️

Endomorphisme et dérivation

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Soit

{\Phi\,\colon f\mapsto g}

, avec

{g(x)=f'(x)-xf(x)}

. Étudier les éléments propres de

\Phi

, et déterminer

{\text{Ker}(\Phi^{n})}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Matrices stochastiques, valeurs propres

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, à coefficients dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, la somme de chaque ligne valant

{1}

.
Montrer que

{\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}

, avec

{\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}

➡️

Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

➡️

Endomorphisme et trace

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{f:M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr}(M)I_n-M}

➡️

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

➡️

Réduction simultanée

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie, et

{f,g\in{\mathcal L}(E)}

tels que

{\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}

On cherche une base où les matrices de

f

g

sont très simples.

➡️

Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

➡️

Endomorphisme et crochet de Lie

(Oral X-Cachan Psi)
Pour

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

on pose

{[A,B ] = AB -BA}

.
On étudie

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

tel que :

{\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}

➡️

Un opérateur « valeur moyenne »

(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions continues de

{\mathbb{R}^{+*}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Soit

{T\colon E\rightarrow E}

, défini par

{T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

.
On étudie les éléments propres de

{T}

➡️

Pas de sev stable de dim ≥ 1

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

➡️