Éléments propres

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Éléments propres ».

Spectre de sous-matrices principales

(Oral Centrale) Soit

{A}

une matrice symétrique réelle, et

{B}

une sous-matrice principale de

{A}

. On montre que si

{B}

est à spectre simple, alors il en est de même de

{A}

, et les valeurs propres de

{B}

séparent celles de

{A}

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Matrices magiques et valeurs propres

(Oral Centrale) Pour toute matrice

{A}

magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.

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L’application matricielle M -> AM+MA

(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur

{\mathcal{M}_{n}(\K)}

par

{\varphi(M)=AM+MA}

, où

{A}

est une matrice à polynôme caractéristique scindé.

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L’équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle

{AX-XB=Y}

, où

{A}

{B}

sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution

{X}

sous forme de série matricielle.

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Sous-espace de matrices qui commutent

(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

formé de matrices qui commutent deux à deux.

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Endomorphisme de suites

(Oral CCinp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})}

définie par

{f(u)=v}

où

{\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}

Donner les éléments propres de

{f}

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Exercices sur la réduction (2/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

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Droite ou plan stable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace vectoriel de dimension

{n\geq 2}

.
Montrer que tout endomorphisme de

{E}

possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

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Exercices sur la réduction (1/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

➡️

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{n}

valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe

{\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}

tels que :

{\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}

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Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{\dim(E)=3n}

.
On suppose

{v^{3}=0}

{v^{2}\neq 0}

{\mathrm{rg} (v)=2n}

.
Montrer que

{\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}

.
Former une base où

{v}

a pour matrice

{\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

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Matrices à puissances bornées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})}

telles que la suite

{n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}}

soit bornée.

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Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Dans un

{\mathbb{C}}

-ev

{E}

de dimension finie, on étudie les propriétés de

{u,v}

dans

{\mathcal{L}(E)}

tels que

{uv-vu=au+bv}

avec

{a\ne 0}

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Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

un ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.

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Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de

{\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}

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Matrices avec vecteur propre donné

(Oral Centrale 2018)
Soit

{x\in\mathbb{R}^{n}}

non nul, et

{E_{x}}

l’ensemble des matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{x}

comme vecteur propre.
Montrer que

{E_{x}}

est un espace vectoriel, préciser sa dimension.

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Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
Encadrement de valeurs propres non nulles de matrices à coefficients entiers.

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Déterminant et polynômes

(Oral Centrale Mp)
Soit

n\in\mathbb{N}

, et

{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}

pour

0\le j\le n

.
On étudie la matrice des coefficients

a_{n,i,j}

et on calcule son déterminant.

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Commutant d’un endo scindé simple

Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

(où

{\dim(E)=n\ge1}

) ayant

{n}

valeurs propres distinctes.
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

. Montrer

{uv=vu}

si et seulement si

{v}

s’écrit

{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}

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Réduction endomorphisme de K_n[X]

Pour tout polynôme

P

, on note

\varphi(P)

le polynôme

X(X-1)P'-nXP

.
Montrer que

{\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}

, et en donner les éléments propres.

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