Valeurs propres de uv et de vu
Soit {u} et {v} deux endomorphismes d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Éléments propres
Majoration de valeurs propres
(Oral Centrale)
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Spectre de MT M et de M MT
(Oral XCachan)
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Endomorphismes tels que f2 = -Id
(Oral Xcachan)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Un endomorphisme de matrices
(Oral Centrale)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.
Une condition d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
Valeur propre commune
(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Déterminant puis valeurs propres
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Diagonalisation et déterminant
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Sev stables par u diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un \mathbb{K}-ev de dimension {n\ge1} et {u \in{\mathcal L}(E)} tel que {\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}.
Dénombrer les sous-espaces de {E} qui sont stables par {u}.
Soient {E} un \mathbb{K}-ev de dimension {n\ge1} et {u \in{\mathcal L}(E)} tel que {\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}.
Dénombrer les sous-espaces de {E} qui sont stables par {u}.
Diagonalisation et hyperplans stables
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.
Matrice unipotente
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que : {M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}
Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que : {M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}
Matrice semblable à son opposée
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}. Alors ({A} est semblable à {-A}) {\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}.
Soit {A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}. Alors ({A} est semblable à {-A}) {\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}.
Racine carrée de la dérivation?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.
Existe-t-il {u\in{\mathcal L}(E_1)} tel que : {\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}?
Existe-t-il {v\in{\mathcal L}(E)} tel que : {\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}?
Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.
Existe-t-il {u\in{\mathcal L}(E_1)} tel que : {\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}?
Existe-t-il {v\in{\mathcal L}(E)} tel que : {\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}?
Les cos(kx) et sin(kx) sont libres
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions {x\mapsto \cos(x)}, {x\mapsto \sin(x)}, {x\mapsto \cos(2x)}, {x\mapsto \sin(2x)}, {\ldots}, {x\mapsto \cos (nx)}, {x\mapsto \sin(nx)} sont linéairement indépendantes.
Montrer que les fonctions {x\mapsto \cos(x)}, {x\mapsto \sin(x)}, {x\mapsto \cos(2x)}, {x\mapsto \sin(2x)}, {\ldots}, {x\mapsto \cos (nx)}, {x\mapsto \sin(nx)} sont linéairement indépendantes.
Endomorphisme et dérivation
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Spectre d’un endomorphisme intégral
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Matrices stochastiques, valeurs propres
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, à coefficients dans {\mathbb{R}^{+*}}, la somme de chaque ligne valant {1}.
Montrer que {\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}, avec {\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, à coefficients dans {\mathbb{R}^{+*}}, la somme de chaque ligne valant {1}.
Montrer que {\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}, avec {\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}.
Endomorphisme intégral
(Oral Tpe et Ensam)
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.