Exercices sur la réduction des endomorphismes

Exercice 1. (Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\!\in\!\mathcal{L}(\mathbb{R}_{n}[X])}

défini par

{f(\!P\!)\!=\!P(\!1\!-\!X)}

L’endomorphisme

{f}

est-il injectif ? bijectif?
Déterminer ses éléments propres.

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Exercice 2. (Oral Mines-Ponts)
Soit

{M=(x_{i}x_{j})_{1\leq i,j\leq n}\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

.
Donner les éléments propres de

{M}

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Exercice 3. (Oral Mines-Ponts)
Soit

{J\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{J^{2}=-I_{n}}

Montrer que ${n}$ est pair. On pose ${n=2m}$ .
Montrer que ${J}$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}$ .
Donner ses valeurs propres et leurs multiplicités.
On pose ${K=\begin{pmatrix}0 & I_{m} \\-I_{m} & 0\end{pmatrix}}$ . Montrer que ${J}$ est semblable à ${K}$ dans ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}$ .
Montrer que ça reste vrai dans ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}$ .

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Exercice 4. (Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation suivante dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{A^{2}=(-1)^{n+1}\det (A)I_{n}\quad(\star)}

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Exercice 5. (Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension

{n}

.
Soient

{u,v}

des endomorphismes de

{E}

.
On suppose que

{u}

{n}

valeurs propres distinctes, et que

{u v=v u}

.
Que peut-on dire de l’endomorphisme

{v}

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Exercice 6. (Oral CCInp & Ensam)
Étudier la diagonalisabilité de

{\Phi :X\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})\;\mapsto-X+\text{tr}(X)I_n\;\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

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