Exercices sur la réduction (1/2)

Exercice 1.
Diagonaliser {A=\begin{pmatrix}-1&1&1\cr1&-1&1\cr1&1&-1\end{pmatrix}}.
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Exercice 2.
Soit {A=\begin{pmatrix}0&-2&0\cr1&0&-1\cr0&2&0\end{pmatrix}}.
Diagonaliser {A} dans {\mathbb{R}}, sinon dans {\mathbb{C}}.
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Exercice 3.

  1. Montrer que si {D\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{K})} est diagonale à coefficients diagonaux distincts, alors les matrices de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} qui commutent avec {D} sont les matrices diagonales.
  2. Déterminer les solutions {X} (éventuelles) dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} de l’équation :{X^{2}+X=A\;\text{où}\;A=\begin{pmatrix}5&3\\ 1&3\end{pmatrix}}

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Exercice 4.
Résoudre {(E):X^2\!=\!A\!=\!\begin{pmatrix}-2&2&1\cr -1&1&1\cr -2&2&1\end{pmatrix}}.
(d’abord dans {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} puis dans {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}).
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Exercice 5.
Soit {F} le plan engendré par {\begin{cases}x\mapsto\sin x\\x\mapsto\sin x\end{cases}}

  1. Soit {\delta\in\mathcal{L}(F)} défini par {\delta(y)=y’}.
    Existe-t-il {f\in \mathcal{L}(F)} tel que {f^2=\delta}?
  2. Soit {\sigma\in\mathcal{L}(F)} qui échange {\sin} et {\cos}.
    Existe-t-il {g\in \mathcal{L}(F)} tel que {g^2=\sigma}?

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