Exercice 1.
Diagonaliser {A=\begin{pmatrix}-1&1&1\cr1&-1&1\cr1&1&-1\end{pmatrix}}. |
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Exercice 2.
Soit {A=\begin{pmatrix}0&-2&0\cr1&0&-1\cr0&2&0\end{pmatrix}}.
Diagonaliser {A} dans {\mathbb{R}}, sinon dans {\mathbb{C}}.
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Exercice 3.
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Montrer que si {D\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{K})} est diagonale à coefficients diagonaux distincts, alors les matrices de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} qui commutent avec {D} sont les matrices diagonales.
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Déterminer les solutions {X} (éventuelles) dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} de l’équation :{X^{2}+X=A\;\text{où}\;A=\begin{pmatrix}5&3\\ 1&3\end{pmatrix}}
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Exercice 4.
Résoudre {(E):X^2\!=\!A\!=\!\begin{pmatrix}-2&2&1\cr -1&1&1\cr -2&2&1\end{pmatrix}}.
(d’abord dans {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} puis dans {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}).
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Exercice 5.
Soit {F} le plan engendré par {\begin{cases}x\mapsto\sin x\\x\mapsto\sin x\end{cases}}
- Soit {\delta\in\mathcal{L}(F)} défini par {\delta(y)=y'}.
Existe-t-il {f\in \mathcal{L}(F)} tel que {f^2=\delta}?
- Soit {\sigma\in\mathcal{L}(F)} qui échange {\sin} et {\cos}.
Existe-t-il {g\in \mathcal{L}(F)} tel que {g^2=\sigma}?
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Exercice 6. (Oral TPE)
Soit {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux {A_1,\cdots ,A_p}. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {M} soit diagonalisable. |
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