Exercices sur la réduction (1/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Diagonaliser

{A=\begin{pmatrix}-1&1&1\cr1&-1&1\cr1&1&-1\end{pmatrix}}

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Exercice 2.
Soit

{A=\begin{pmatrix}0&-2&0\cr1&0&-1\cr0&2&0\end{pmatrix}}

.
Diagonaliser

{A}

dans

{\mathbb{R}}

, sinon dans

{\mathbb{C}}

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Exercice 3.

Montrer que si ${D\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{K})}$ est diagonale à coefficients diagonaux distincts, alors les matrices de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ qui commutent avec ${D}$ sont les matrices diagonales.
Déterminer les solutions ${X}$ (éventuelles) dans ${\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}$ de l’équation : ${X^{2}+X=A\;\text{où}\;A=\begin{pmatrix}5&3\\ 1&3\end{pmatrix}}$

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Exercice 4.
Résoudre

{(E):X^2\!=\!A\!=\!\begin{pmatrix}-2&2&1\cr -1&1&1\cr -2&2&1\end{pmatrix}}

.
(d’abord dans

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

puis dans

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

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Exercice 5.
Soit

{F}

le plan engendré par

{\begin{cases}x\mapsto\sin x\\x\mapsto\sin x\end{cases}}

Soit ${\delta\in\mathcal{L}(F)}$ défini par ${\delta(y)=y'}$ .
Existe-t-il ${f\in \mathcal{L}(F)}$ tel que ${f^2=\delta}$ ?
Soit ${\sigma\in\mathcal{L}(F)}$ qui échange ${\sin}$ et ${\cos}$ .
Existe-t-il ${g\in \mathcal{L}(F)}$ tel que ${g^2=\sigma}$ ?

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Exercice 6. (Oral TPE)
Soit

{M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux

{A_1,\cdots ,A_p}

. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que

{M}

soit diagonalisable.

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