Éléments propres

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Éléments propres ».

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie, et

{f,g\in{\mathcal L}(E)}

tels que

{\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}

On cherche une base où les matrices de

f

g

sont très simples.

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

(Oral X-Cachan Psi)
Pour

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

on pose

{[A,B ] = AB -BA}

.
On étudie

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

tel que :

{\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}

(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions continues de

{\mathbb{R}^{+*}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Soit

{T\colon E\rightarrow E}

, défini par

{T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

.
On étudie les éléments propres de

{T}

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E