Exercice (oral Centrale/Supélec)
| Question 1 Déterminer la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel {\mathcal{E}} de {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})} dont tous les éléments commutent deux à deux (indication : on commencer par étudier le cas où {\mathcal{E}} contient une matrice ayant deux valeurs propres distinctes). |
| Question 2.a Soit {N \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})} nilpotente non nulle. Montrer que la matrice {N} est semblable à :{N_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\;\text{ou}\;N_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} |
| Question 2.b Déterminer l’ensemble des matrices qui commutent avec {N_1} (resp. {N_2}). |
| Question 3 Déterminer la dimension maximale d’un sous-espace {\mathcal{E}} de {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})} dont tous les éléments commutent deux à deux. On pourra étudier les cas suivants :
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